Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2x-{x}^{2}）{e}^{x}，x≤0}\\{-{x}^{2}+4x+3，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-3k，若函數(shù)g（x）恰有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為（1，$\frac{7}{3}$）∪{0，$-\frac{2\sqrt{2}+2}{3{e}^{\sqrt{2}}}$}．

Answer 1

分析 由g（x）=0，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的極值問題，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由g（x）=f（x）-3k=0，即f（x）=3k，
當(dāng)x≤0時，f（x）=（2x-x²）e^x，
則f'（x）=（2-x²）e^x，由f'（x）=（2-x²）e^x=0，解得x=-$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=-$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）取得極小值f（-$\sqrt{2}$）=$（-2\sqrt{2}-2{）e}^{-\sqrt{2}}$，
當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²+4x+3=-（x-2）²+7≤7，
作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可知，要使f（x）=3k有恰有兩個不同的交點，
則滿足3＜3k＜7或$（-2\sqrt{2}-2{）e}^{-\sqrt{2}}$=3k或k=0，
即1＜k＜$\frac{7}{3}$或k=$-\frac{2\sqrt{2}+2}{3{e}^{\sqrt{2}}}$或k=0，
故答案為：（1，$\frac{7}{3}$）∪{0，$-\frac{2\sqrt{2}+2}{3{e}^{\sqrt{2}}}$}

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判定，將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的相交個數(shù)問題是解決本題問題的基本方法．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值是解決本題的關(guān)鍵．