Question

8．（Ⅰ）已知${（\sqrt{x}+\frac{1}{{3{x^2}}}）^n}$的第五項的二項式系數(shù)與第三項的二項式系數(shù)的比是14：3，求展開式中不含x的項；
（Ⅱ）求（1+x）²（1-x）⁵展開式中x³的系數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意有C_n⁴：C_n²=14：3．化簡求得n=10．在通項公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得不含x的項．
（Ⅱ）把（1+x）²（1-x）⁵ 按照二項式定理展開，可得x³的系數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）依題意有C_n⁴：C_n²=14：3．化簡得（n-2）（n-3）=56，
解之得n=10或n=-5（不合題意，舍去）． 
設(shè)該展開式中第r+1項為所求的項，則由通項公式可得T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（\frac{1}{3}）}^{r}$•${x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
令$\frac{10-5r}{2}$=0，求得r=2，可得不含x的項為第三項，且T₃=C₁₀²•3^-2=5．
（Ⅱ）∵（1+x）²（1-x）⁵ =（1+2x+x²）（1-C₅¹x+C₅²x²-C₅³x³+C₅⁴x⁴-x⁵），
∴x³的系數(shù)為：-C₅³+2C₅²-C₅¹=5．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．