Question

3．已知函數(shù)f（x）=3•2^x+$\frac{3}{{2}^{x}}$，x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）利用函數(shù)單調性定義證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若f（x）≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）對任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可；
（2）根據函數(shù)單調性的定義進行證明即可；
（3）問題轉化為f（x）_min≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）對任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立即可．

解答 解：（1）∵f（x）=3•2^x+$\frac{3}{{2}^{x}}$=3（2^x+2^-x），
∴f（-x）=3（2^x+2^-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）利用單調性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
設0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=3（2^x1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$）-3（2^x2+$\frac{1}{{2}^{{x}^{2}}}$）=3（2_x1-2_x2）+3•$\frac{{2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}}{{{2}^{{x}_{1}}2}^{{x}_{2}}}$=3（2_x1-2_x2） $\frac{{2}^{{x}_{1}}{•2}^{{x}_{2}}-1}{{{2}^{{x}_{1}}2}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2^x1-2^x2＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若f（x）≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）對任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?f（x）_min≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）對任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?6≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）對任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）≤6-k（m＞0，k∈R）對任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?$\frac{{{（log}_{2}^{\frac{8}{m}}{+log}_{2}^{2m}）}^{2}}{4}$≤6-k
?$\frac{{（log}_{2}^{\frac{8}{m}•2m}）^{2}}{4}$≤6-k
?2≤6-k
?k≤2．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，根據函數(shù)奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．