Question

12．已知橢圓x²+2y²=4，則以（1，1）為中點的弦的長度為$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

Answer 1

分析 設弦的兩端的端點為（a，b）和（2-a，2-b），列方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2^{2}=4}\\{（2-a）^{2}+2（2-b）^{2}=4}\end{array}\right.$得兩端點的坐標，由此可知弦長．

解答 解：設弦的兩端的端點為（a，b）和（2-a，2-b）
列方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2^{2}=4}\\{（2-a）^{2}+2（2-b）^{2}=4}\end{array}\right.$
解得a=1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1-$\frac{\sqrt{6}}{6}$或a=1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1+$\frac{\sqrt{6}}{6}$
兩端點的坐標為（1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{6}}{6}$）和（1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）
弦長為$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（-\frac{2\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

點評 本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．