Question

如圖，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，點(diǎn)M在線段PQ上．

(1)若OM＝，求PM的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON＝30°，問(wèn)：當(dāng)∠POM取何值時(shí)，△OMN的面積最�。坎⑶蟪雒娣e的最小值．

Answer 1

解　(1)在△OMP中，∠P＝45°，OM＝，OP＝2.

由余弦定理得，OM²＝OP²＋PM²－2×OP×PM×cos45°，

得PM²－4PM＋3＝0，解得PM＝1或PM＝3.

(2)設(shè)∠POM＝α，0°≤α≤60°，

在△OMP中，由正弦定理，得＝，

故S_△OMN＝×OM×ON×sin∠MON

因?yàn)?°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以當(dāng)α＝30°時(shí)，sin(2α＋30°)的最大值為1，此時(shí)△OMN的面積取到最小值．即∠POM＝30°時(shí)，△OMN的面積最小，其最小值為8－4.