Question

11．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角（∠BAD）為120°的平行四邊形ABCD，將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)（不包括線段的端點(diǎn)）．
（1）初步嘗試
如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
（2）類比發(fā)現(xiàn)
如圖2，若AD=2AB，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，求證：AE=2FH；
（3）深入探究：在（2）的條件下，學(xué)習(xí)小組某成員探究發(fā)現(xiàn)AE+2AF=$\sqrt{3}$AC，試判斷結(jié)論是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①首先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，根據(jù)ASA即可證明．
②利用①中結(jié)論，即可證明．
（2）首先利用勾股定理逆定理證明△ACD是直角三角形，再證明△ACE∽△HCF，即可推出$\frac{AE}{FH}$=$\frac{AC}{CH}$=2．
（3）利用代數(shù)法證明，如圖2中，由（2）可知，設(shè)FH=α，則AE=2a，設(shè)AH=x，則AH=3x，易知AC=2$\sqrt{3}$x，AF=3x-a，即可得出AE+2AF=2a+2（3x-a）=6x=$\sqrt{3}$AC．

解答 （1）①證明：如圖1中，∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∠BAD=120°，
∴∠D=∠B=60°，
∵AD=AB，
∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，
∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，
∵∠BCF=60°，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAF}\\{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF．

②如圖1中，∵△BCE≌△ACF，
∴BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．
∴AE+AF=AC．

（2）證明：如圖2中，設(shè)DH=x，由題意CD=2x，CH=$\sqrt{3}$x．
∴AD=2AB=4x，AH=AD-DH=3x，
∵CH⊥AD，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴AC²+CD²=16x²，AD²=16x²，
∴AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACH=60°，
∵∠ECF=60°=∠ACH，
∴∠HCF=∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴$\frac{AE}{FH}$=$\frac{AC}{CH}$=2，
∴AE=2FH．

（3）結(jié)論正確．
理由：如圖2中，由（2）可知，設(shè)FH=α，則AE=2a，設(shè)HC=$\sqrt{3}$x，則AH=3x，
易知AC=2$\sqrt{3}$x，
∴AF=3x-a，
∴AE+2AF=2a+2（3x-a）=6x=$\sqrt{3}$AC．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考�？碱}型．