Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，g（x）=ln（x²-2x+a），
（1）若a=0，求F（x）=f（x）+g（x）的零點；
（2）設(shè)命題P：f（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，q：g（x）的定義域為R，若p∧q為真命題，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）令F（x）=0，求出函數(shù)的零點即可；
（2）關(guān)于p：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，$a-\frac{1}{x}≤0$在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$恒成立，求出a的范圍，關(guān)于q：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍，取交集即可．

解答 解（1）∵a=0，∴F（x）=ln（x²-2x）-lnx，
由F（x）=0得x²-2x=x，∴x=0或x=3，
又因為F（x）的定義域{x|x＞2}，
∴x=0舍去，
∴F（x）的零點為3；                               
（2）∵${f^'}（x）=a-\frac{1}{x}，且f（x）在[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$遞減，
∴$a-\frac{1}{x}≤0$在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$恒成立，
∴a≤2，
又因為g（x）的定義域為R，
所以x²-2x+a＞0對一切實數(shù)恒成立，
∴4-4a＜0，∴a＞1，
∵p∧q為真，
∴1＜a≤2．

點評 本題考查了函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)恒成立問題以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．