Question

18．設(shè)x→x₀時(shí)，|g（x）|≥M（M是一個(gè)正的常數(shù)），f（x）是無窮大．證明：f（x）g（x）是無窮大．

Answer 1

分析 直接利用微積分的概念加以證明．

解答 證明：由于|g（x）|≥M，即存在K＞0，?₁＞0，使得：當(dāng)0＜|x-x₀|＜?₁ 時(shí)，|g（x）|≥M，
任取K＞0，由于f（x）是無窮大，因此存在?₂＞0，使得當(dāng)0＜|x-x₀|＜?₂時(shí)，有|f（x）|＞M+K成立，
取?=min{?₁，?₂}，則當(dāng)0＜|x-x0|＜?時(shí)，|g（x）|≥M與|f（x）|＞M+K同時(shí)成立．
因此：|f（x）g（x）|=|f（x）||g（x）|＞（M+K）M，
因此當(dāng)x→x₀時(shí)，f（x）g（x）是無窮大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查無窮大量的證明，關(guān)鍵是運(yùn)用微積分的概念，是中檔題．