Question

已知函數(shù)=-x²+8x,=6lnx+m,

(1)求在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t);

(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.

Answer 1

解：(1)=-x²+8x=-(x-4)²+16.

當(dāng)t+1<4,即t<3時(shí), 在［t,t+1］上單調(diào)遞增,

;

當(dāng)t≤4≤t+1,即3≤t≤4時(shí),h(t)=f(4)=16;

當(dāng)t>4時(shí), 在［t,t+1］上單調(diào)遞減,

=-t²+8t.

綜上,h(t)=

(2)函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),

即函數(shù)φ(x)=-的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).

∵φ(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴φ′(x)=2x-8+==,

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);

當(dāng)x∈(1,3)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)是減函數(shù);

當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);

當(dāng)x=1或x=3時(shí),φ′(x)=0.

∴φ(x)_max=φ(1)=m-7,

φ(x)_min=φ(3)=m+6ln3-15.

∵當(dāng)x充分接近0時(shí),φ(x)<0;當(dāng)x充分大時(shí),φ(x)>0.

∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),必須且只需

即7<m<15-6ln3.

∴存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),m的取值范圍為(7,15-6ln3).