Question

已知函數(shù)f（x）=x²+λlnx，
（1）當λ=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求證：如果實數(shù)λ≥-8，那么函數(shù)f（x）在給定區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)小于0求出自變量x在定義域內(nèi)的取值范圍，則原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間可求．
（2）欲證如果實數(shù)λ≥-8，那么函數(shù)f（x）在給定區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．利用函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可得，只須證明f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，也即證明即λ≥-2x²在[2，+∞）上恒成立，即證λ≥-8．

解答：解：（1）易知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），．
當λ=-2時，f′（x）=2x-

2

x

=

2x2-2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

．…（3分）
由f′（x）≤0，且定義域為（0，+∞），
可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）…（5分）
（Ⅱ） 由f（x）=x²+λlnx，得f′（x）=2x+

λ

x

．
由于函數(shù)f（x）為[2，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，
則f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即不等式2x+

λ

x

≥0在[2，+∞），也即λ≥-2x²在[2，+∞）上恒成立．
由二次函數(shù)的單調(diào)性，知λ≥-8顯然成立，
∴如果實數(shù)λ≥-8，那么函數(shù)f（x）在給定區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．…（10分）

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，是中檔題．