Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-3，0）
• B． （-∞，0）
• C． （-∞，-3）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 先判斷a＜0，再分析x＜0，函數(shù)在x=$\frac{a}{3}$時(shí)取得極大值-$\frac{{a}^{3}}{27}$-1，x=0時(shí)取得極小值-1，利用f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有2個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，a＜0，
x＜0，f（x）=2x³-ax²-1，
f′（x）=2x（3x-a）=0，可得x=0或$\frac{a}{3}$，
∴函數(shù)在x=$\frac{a}{3}$時(shí)取得極大值-$\frac{{a}^{3}}{27}$-1，x=0時(shí)取得極小值-1，
∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴-$\frac{{a}^{3}}{27}$-1＜0且3+a＞0
∴-3＜a＜0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．