Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1．
（1）若tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求函數(shù)值f（a）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)值f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)可得f（α）=$\sqrt{3}×$$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$+$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$+2，代入tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$計(jì)算即可得解．
（2）化簡(jiǎn)還是解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2，tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（α）=$\sqrt{3}$sin2α+cos2α+2=$\sqrt{3}×$$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$+$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$+2=$\sqrt{3}×$$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\frac{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{1+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+2=$\frac{27}{7}$；
（2）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2∈[1，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查了計(jì)算求解能力，熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．