Question

13．設函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x，m＞0．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當m≥1時，討論函數f（x）與g（x）圖象的交點個數．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的導數，解關于導函數的不等式，從而求出函數的單調區(qū)間；
（2）問題轉化為求函數h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零點個數問題，通過求導，得到函數h（x）的單調區(qū)間，求出h（x）的極小值，從而求出函數h（x）的零點個數即f（x）和g（x）的交點個數．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），m＞0，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{m}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{m}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{m}$）遞減，在（$\sqrt{m}$，+∞）遞增；
（2）f（x）與g（x）圖象的交點個數，
即函數h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零點個數問題，
h′（x）=-$\frac{（x-m）（x-1）}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，
∴h（x）在（0，1）遞減，在（1，m）遞增，在（m，+∞）遞減，
∴h（x）_極小值=h（1）=m+$\frac{1}{2}$＞0，
∴h（x）和x軸有1個交點，
即函數f（x）與g（x）圖象的交點個數是1個．

點評 本題考察了導數的應用，考察函數的單調性問題，考察轉化思想，函數的零點問題，是一道中檔題．