Question

20．設(shè)a＞0且a≠1，命題P：函數(shù)f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）為減函數(shù)，命題Q：已知集合M={x|x²+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=∅，若P∧Q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的a的范圍，通過討論p，q的真假，得到不等式組解出即可．

解答 解：設(shè)a＞0且a≠1，若命題P：函數(shù)f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）為減函數(shù)，
則f（x）=${log}_{a}^{\frac{1-x}{1+x}}$（-1＜x＜1）是減函數(shù)，令y=$\frac{1-x}{1+x}$，則y′=-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$＜0，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的單調(diào)性原則，
得：a＞1，
若命題Q：已知集合M={x|x²+（a+2）x+1=0}∩{x|x＞0}=∅，
∵a＞0且a≠1，則方程x²+（a+2）x+1=0的根非正，
∴-（a+2）≤0，解得：a≥-2，
若P∧Q為假，則p，q一真一假，
p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜-2}\end{array}\right.$，無解，
p假q真時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥-2}\end{array}\right.$，解得：-2≤a≤1．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題的真假的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題