Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，AB為過(guò)焦點(diǎn)的弦，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 可想著寫出AB的方程，從而可討論斜率k是否存在：不存在斜率時(shí)，容易得出|AB|=$\frac{32}{5}$；而存在斜率時(shí)，可以設(shè)直線AB的方程為y=k（x-3），聯(lián)立橢圓的方程，從而可消去y得到關(guān)于x的方程，（25k²+16）x²-150k²x+225k²-400=0，根據(jù)韋達(dá)定理可寫出x₁+x₂，x₁x₂，由弦長(zhǎng)公式即可求出|AB|=$\frac{32}{5}+\frac{288}{5（25{k}^{2}+16）}$，這樣由k²≥0即可得出|AB|的范圍，從而可得出|AB|的最大值和最小值．

解答 解：橢圓的右焦點(diǎn)為（3，0），則：
（1）若過(guò)該焦點(diǎn)的直線不存在斜率，則該直線方程為x=3，帶入橢圓方程得：
$\frac{9}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
∴$y=±\frac{16}{5}$；
∴$|AB|=\frac{32}{5}$；
（2）若存在斜率，設(shè)該直線方程為y=k（x-3），帶入橢圓方程得：
（25k²+16）x²-150k²x+225k²-400=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{150{k}^{2}}{25{k}^{2}+16}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{225{k}^{2}-400}{25{k}^{2}+16}$；
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{160（1+{k}^{2}）}{25{k}^{2}+16}$=$\frac{32}{5}+\frac{288}{5（25{k}^{2}+16）}$；
25k²+16≥16；
$0＜\frac{1}{5（25{k}^{2}+16）}≤\frac{1}{80}$；
∴$\frac{32}{5}＜|AB|≤10$；
∴綜上得，$\frac{32}{5}≤|AB|≤10$；
∴|AB|的最大值為10，最小值為$\frac{32}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直線的點(diǎn)斜式方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)，弦及弦長(zhǎng)的概念，以及弦長(zhǎng)公式，韋達(dá)定理，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法．