Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{ax}}{x}$（a∈R）．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）求證：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i•（\sqrt{e}）^{i}}$＜$\frac{7}{2e}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求f（x）的最小值；
（2）利用（1）的結(jié)論，利用放縮法即可證明不等式．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}}{x}$，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}•x-{e}^{\frac{1}{2}x}}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}（x-2）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＜2且x≠0，
即當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值同時(shí)也是最小值為f（2）=$\frac{e}{2}$．
即f（x）的最小值為$\frac{e}{2}$；
（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}}{x}$的最小值為$\frac{e}{2}$．
即$\frac{x}{{e}^{\frac{x}{2}}}$≤$\frac{2}{e}$，（x＞0），
∴$\frac{1}{i•（\sqrt{e}）^{i}}$=$\frac{i}{{i}^{2}•（\sqrt{e}）^{i}}$≤$\frac{1}{{i}^{2}}•$$\frac{2}{e}$，
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i•（\sqrt{e}）^{i}}$=$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2•（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3•（\sqrt{e}）^{3}}$+…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$≤$\frac{2}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{2}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}+…+\frac{1}{{n}^{2}-1}$）
=$\frac{2}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{2}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{2}{e}$（$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{7}{2e}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，以及利用放縮法證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度太大．