Question

7．若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和且S_n=n²+3n，若{b_n}為等比數(shù)列且b₂=4，b₅=32．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，T_n數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式可得a_n，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²+3n，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+3n）-[（n-1）²+3（n-1）]=2n+2，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴a_n=2n+2．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵b₂=4，b₅=32．
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}q=4}\\{_{1}{q}^{4}=32}\end{array}\right.$，解得b₁=q=2，
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+2）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ⁺¹．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2×2²+3•2³+4×2⁴…+（n+1）•2ⁿ⁺¹．
2T_n=2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=8+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺²=$4+\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺²=-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=n×2ⁿ⁺²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．