Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線平行于x軸，求x₀的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{a-1}{4}$π，$\frac{2a-1}{4}$π）（a＞0）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，不等式f（x）≤bx恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由條件可得f′（x₀）=0，運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，解方程即可得到；
（2）求出導(dǎo)數(shù)大于等于0的解集，由題意可得解集包含（$\frac{a-1}{4}$π，$\frac{2a-1}{4}$π），得到不等式解得即可；
（3）首先確定b＞0，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，不等式f（x）≤bx恒成立?sinx≤bxe^x?sinx-bxe^x≤0恒成立，
令h（x）=sinx-bxe^x，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，不等式h（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，討論b≥1，0＜b＜1，求出最值，即可得到b的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{cosx-sinx}{{e}^{x}}$，由題意可得f′（x₀）=0，即cosx₀-sinx₀=0，
即tanx₀=1，求得x₀=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
（2）由f′（x）≥0，即sinx-cosx≤0，$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≤0，
可得2k$π-\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{a-1}{4}$π，$\frac{2a-1}{4}$π）（a＞0）上的增函數(shù)，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{a-1}{4}π≥2kπ-\frac{3π}{4}}\\{\frac{2a-1}{4}π≤2kπ+\frac{π}{4}，k∈Z}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{8k-2≤a≤4k+1，k∈Z}\end{array}\right.$，
由8k-2≤4k+1，解得k$≤\frac{3}{4}$，
當(dāng)k=0時，0＜a≤1，k為負(fù)整數(shù)．上述不等式的解集為∅．
綜上可得0＜a≤1；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$≤bx恒成立，
當(dāng)x=0時，f（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$≤bx成立；
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時，$\frac{sinx}{x{e}^{x}}$＞0，若f（x）≤bx，即b≥$\frac{sinx}{x{e}^{x}}$恒成立，顯然b＞0，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，不等式f（x）≤bx恒成立?sinx≤bxe^x?sinx-bxe^x≤0恒成立，
令h（x）=sinx-bxe^x，
則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，不等式h（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
h′（x）=cosx-be^x（x+1），
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，e^x＞1，x+1＞1，h′（x）＜cosx-b＜cos0-b=1-b，
當(dāng)1-b≤0時，h′（x）＜0，h（x）在（0，$\frac{π}{2}$）遞減；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，h（x）≤h（0）=0，可得b≥1成立；
當(dāng)0＜b＜1時，h′（0）=1-b＞0，h′（$\frac{π}{2}$）=-b${e}^{\frac{π}{2}}$（1+$\frac{π}{2}$）＜0，
h′（x）在（0，$\frac{π}{2}$）遞減，
由零點(diǎn)存在定理可得存在唯一的x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得h′（x₀）=0，
于是當(dāng)x∈（0，x₀）?（0，$\frac{π}{2}$），h′（x）＞0，
則當(dāng)x∈（0，x₀），h（x）遞增，
即有h（x）＞h（0）=0，
可見0＜b＜1不成立．
綜上可得b的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用分類討論的思想方法和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．