Question

4．已知點A（1，2）、B（5，-1），且A，B兩點到直線l的距離都為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 此題需要分為兩類來研究，一類是直線L與點A（1，2）和點B（5，-1）兩點的連線平行，一類是線L過兩點A（1，2）和點B（5，-1）中點，分類解出直線的方程即可．

解答 解：∵|AB|=$\sqrt{{（5-1）}^{2}{+（-1-2）}^{2}}$=5，$\frac{1}{2}$|AB|＞2，
∴A與B可能在直線l的同側，也可能直線l過線段AB中點，
①當直線l平行直線AB時：k_AB=$\frac{-1-2}{5-1}$=-$\frac{3}{4}$，可設直線l的方程為y=-$\frac{3}{4}$x+b
依題意得：$\frac{|-\frac{3}{4}-2+b|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2，解得：b=$\frac{21}{4}$或b=$\frac{1}{4}$，
故直線l的方程為：3x+4y-1=0或3+4y-21=0（6分）
②當直線l過線段AB中點時：AB的中點為（3，$\frac{1}{2}$），可設直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=k（x-3）
依題意得：$\frac{|4k+3|}{\sqrt{{4k}^{2}+4}}$=2，解得：k=$\frac{7}{24}$，
故直線l的方程為：$\frac{7}{24}$x-2y-$\frac{3}{4}$=0．

點評 本題考查點到直線的距離公式，求解本題關鍵是掌握好點到直線的距離公式與中點坐標公式，對空間想像能力要求較高，考查了對題目條件分析轉化的能力．