Question

3．已知實(shí)數(shù)c＞0，c≠1，設(shè)有兩個(gè)命題：命題p：函數(shù)y=c^x是R上的單調(diào)減函數(shù)；命題q：對(duì)于?x∈R，不等式x²+x+$\frac{c}{2}$＞0恒成立．若命題p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出命題p，q的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：若函數(shù)y=c^x是R上的單調(diào)減函數(shù)，則0＜c＜1，
若對(duì)于?x∈R，不等式x²+x+$\frac{c}{2}$＞0恒成立，則判別式△=1-4×$\frac{c}{2}$=1-2c＜0，
即c＞$\frac{1}{2}$，
若p∨q為真，p∧q為假，
則p和q有且只有一個(gè)為真命題，則
（1）若p為真q為假，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即0＜c≤$\frac{1}{2}$，
（2）q為真p為假，
則$\left\{\begin{array}{l}{c＞1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即c＞1，
∴綜上所述，若p∨q為真，p∧q為假，則c的取值范圍是0＜c≤$\frac{1}{2}$，或c＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假之間的關(guān)系，求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．