Question

8．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x+2$．
（1）求f（x）最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由周期公式可得，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)遞增區(qū)間，同理可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由題意可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$和2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)分別取最小和大值，代值計算可得．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x+2$
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
同理可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$即x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最小值0，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)取最大值3．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值及周期性，屬基礎(chǔ)題．