Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，離心率為.點為圓上任意一點， 為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線經過點且與橢圓相切， 與圓相交于另一點，點關于原點的對稱點為，證明：直線與橢圓相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的幾何性質得到， ，進而求得方程；（2）由點P的坐標寫出直線PA，由相切關系得到，同理，由直線與橢圓也得到： ，再由，可化簡得到.

解析：

（Ⅰ）解：由題意，知， ，

所以， ，

所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）證明：由題意，點在圓上，且線段為圓的直徑，

所以.

當直線軸時，易得直線的方程為，

由題意，得直線的方程為，

顯然直線與橢圓相切.

同理當直線軸時，直線也與橢圓相切.

當直線與軸既不平行也不垂直時，

設點，直線的斜率為，則，直線的斜率，

所以直線： ，直線： ，

由 消去，

得.

因為直線與橢圓相切，

所以，

整理，得（1）

同理，由直線與橢圓的方程聯立，

得.（2）

因為點為圓上任意一點，

所以，即.

代入（1）式，得，

代入（2）式，得

.

所以此時直線與橢圓相切.

綜上，直線與橢圓相切.