Question

14．已知點F（1，0），直線l：x=-1，直線l′垂直l于點P，線段PF的垂直平分線交直線l′于點Q．
（Ⅰ）求點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知軌跡C上的不同兩點M，N與P（1，2）的連線的斜率之和為2，求證：直線MN過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意畫出圖形，可得點Q的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線，則點Q的軌跡C的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為x=my+a，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，寫出MP、NP所在直線的斜率，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得a值，可得直線MN過定點．

解答 （Ⅰ）解：依題意得|QP|=|QF|，即Q到直線l：x=-1的距離與到點F的距離相等，
∴點Q的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線．
設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），則p=2，
即點Q的軌跡C的方程是y²=4x；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線MN的方程為x=my+a，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+a}\end{array}\right.$，得y²-4my-4a=0．
∴y₁y₂=-4a，
k_MP=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，同理得k_NP=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
∴$\frac{4}{{y}_{1}+2}$+$\frac{4}{{y}_{2}+2}$=2．
化簡得：y₁y₂=4，
又y₁y₂=-4a，∴a=-1，
∴直線MN過定點（-1，0）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查靈活運算能力，是中檔題．