Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$，其中x∈[1，+∞）．
（1）判斷f（x）的單調性并證明；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）可判斷f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，利用導數(shù)證明即可．
（2）由f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)知在x=1處有最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+2，
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，證明如下，
∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（1）=1=1+2=4．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性的判斷與應用，同時考查了導數(shù)的應用．