Question

15．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），當t=0時，曲線C₁上對應(yīng)的點為P，以原點O為極點，以x軸的正半軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為$ρ=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+si{n}^{2}θ}}$
（Ⅰ）求證：曲線C₁的極坐標方程為3ρcosθ-4ρsinθ-4=0；
（Ⅱ）設(shè)曲線C₁與曲線C₂的公共點為A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得直角坐標方程，從而可得極坐標方程；
（Ⅱ）當t=0時，得P（0，-1），由（Ⅰ）知曲線C₁是經(jīng)過P的直線，可曲線C₁的參數(shù)方程，由$ρ=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+si{n}^{2}θ}}$，可得曲線C₂的直角坐標方程，再代入x、y得21T²-30T-50=0，由韋達定理可得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴曲線C₁的直角坐標方程為3x-4y-4=0，
所以曲線C₁的極坐標方程為3ρcosθ-4ρsinθ-4=0；
（Ⅱ）解：當t=0時，x=0，y=-1，所以P（0，-1），
由（Ⅰ）知：曲線C₁是經(jīng)過P的直線，
設(shè)它的傾斜角為α，則tanα=$\frac{3}{4}$，從而$sinα=\frac{3}{5}$，cos$α=\frac{4}{5}$，
所以曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}T}\\{y=-1+\frac{3}{5}T}\end{array}\right.$，T為參數(shù)，
∵$ρ=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+si{n}^{2}θ}}$，∴ρ²（3+sin²θ）=12，
所以曲線C₂的直角坐標方程為3x²+4y²=12，
將$x=\frac{4}{5}T$，$y=-1+\frac{3}{5}T$代入3x²+4y²=12，
得21T²-30T-50=0，
所以|PA|•|PB|=|T₁T₂|=$\frac{50}{21}$．

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程以及直角坐標方程之間的相互轉(zhuǎn)化，利用韋達定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．