Question

8．已知AC⊥BC，AC=BC，D滿足$\overrightarrow{CD}$=t$\overrightarrow{CA}$+（1-t）$\overrightarrow{CB}$，若∠ACD=60°，則t的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可知點(diǎn)D在線段AB上，從而可作出圖形，并過D分別作AC，BC的垂線DE，DF，可設(shè)AC=BC=a，從而可根據(jù)條件得到CE=ta，CF=（1-t）a，這樣在Rt△CDE和Rt△CDF中，由余弦函數(shù)的定義即可得到$\frac{ta}{\frac{1}{2}}=\frac{（1-t）a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，從而可解出t的值．

解答 解：如圖，根據(jù)題意知，D在線段AB上，過D作DE⊥AC，垂足為E，作DF⊥BC，垂足為F；

若設(shè)AC=BC=a，則由$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$得，CE=ta，CF=（1-t）a；
根據(jù)題意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴$\frac{CE}{cos60°}=\frac{CF}{cos30°}$；
即$\frac{ta}{\frac{1}{2}}=\frac{（1-t）a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$；
解得$t=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查當(dāng)滿足$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$時(shí)，便說明D，A，B三點(diǎn)共線，以及向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，余弦函數(shù)的定義．