Question

14．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），點(diǎn)P是它的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以PA、PB、PC為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由題意可知△ABC是邊長為3，4，5的直角三角形，點(diǎn)P是此三角形內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，求三個(gè)圓的面積之和的最大值與最小值的和，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到三角形三個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和的最值問題．

解答 解：由A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），設(shè)P（x，y），△ABC內(nèi)切圓半徑為r．
∵三角形ABC面積S=$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}×3×4$=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r，解得r=1，
即內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為（1，1），
∵P在內(nèi)切圓上，
∴（x-1）²+（y-1）²=1．
∵P點(diǎn)到A，B，C距離的平方和為d=x²+y²+（x-4）²+y²+x²+（y-3）²=3（x-1）²+3（y-1）²-2x+19=22-2x
顯然 0≤x≤2 即18≤d≤22，
∴$\frac{9π}{2}≤\frac{πd}{4}≤\frac{11π}{2}$，即以PA，PB，PC為直徑的三個(gè)圓面積之和最大值為$\frac{11π}{2}$，最小值為$\frac{9π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解析法求最值，求三個(gè)圓的面積之和的最大值與最小值的和轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到三角形三個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，是中檔題．