Question

6．已知拋物線C：y²=4x，過x軸上的一定點Q（a，0）的直線l交拋物線C于A、B兩點（a為大于零的正常數(shù)）．
（1）設O為坐標原點，求△ABO面積的最小值；
（2）若點M為直線x=-a上任意一點，探求：直線MA，MQ，MB的斜率是否成等差數(shù)列？若是，則給出證明；若不是，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線AB與拋物線方程，利用韋達定理可得結論；
（2）設M（-a，t），通過計算2k_MQ與k_MA+k_MB的值即得結論．

解答 解：（1）設直線AB的方程為：my=x-a，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{my=x-a}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x可得：y²-4my-4a=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•a•|y₁-y₂|=2a$\sqrt{a+{m}^{2}}$，
所以當m=0時，S_△AOB有最小值2a$\sqrt{a}$；
（2）結論：直線MA，MQ，MB的斜率成等差數(shù)列．
證明如下：
設M（-a，t），∴k_MQ=$\frac{t}{-2a}$，
而k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}+a}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}+a}$=$\frac{\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}（{y}_{1}+{y}_{2}）+a（{y}_{1}+{y}_{2}）-t（{x}_{1}+{x}_{2}）-at}{{x}_{1}{x}_{2}+a（{x}_{1}+{x}_{2}）+{a}^{2}}$      （*）
因為x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$=a²，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2a=4m²+2a，
代入（*）式，可得k_MA+k_MB=$\frac{-4t（a+{m}^{2}）}{4a（a+{m}^{2}）}$=-$\frac{t}{a}$，
∴k_MA+k_MB=2k_MQ，
所以直線MA，MQ，MB的斜率成等差數(shù)列．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，涉及到韋達定理、斜率的計算、等差中項的性質(zhì)、三角形的面積計算公式等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．