Question

14．某校魯班學習小組利用課余時間模擬制作奧運圣火采集器，已知他們制作采集器的拋物面的軸切線為經(jīng)過定點P（1，2）的拋物線，則該拋物線的焦點與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限內(nèi)的漸近線的距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$或$\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 求出拋物線的方程，可得焦點坐標，利用點到直線的距離公式，可得結論．

解答 解：由題設拋物線的標準方程為y²=2p₁x或x²=2p₂y，則2²=2p₁，∴p₁=2，
從而焦點坐標為（1，0），
同理p₂=$\frac{1}{4}$，從而焦點坐標為（0，$\frac{1}{8}$），
又雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限內(nèi)的漸近線的方程為y-$\sqrt{3}$x=0，
∴該拋物線的焦點與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限內(nèi)的漸近線的距離為$\frac{|（-\sqrt{3}）×1+0×1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
或$\frac{|（-\sqrt{3}）×0+\frac{1}{8}×1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{16}$，
故選：D．

點評 本題考查拋物線、雙曲線的性質(zhì)，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．