Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）求出，由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是方程的兩個(gè)正根，可得，則可化為，令，可得在上單調(diào)遞增，所以；（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論的范圍，令的最小值不小于零，可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，故，

且，故

所以函數(shù)在處的切線方程為

（2）由，可得

因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)正根，

即的兩個(gè)正根為

所以，即

所以

令，故，在上單調(diào)遞增，

所以

故得取值范圍是

（3）據(jù)題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，

即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立.

令，則

①若，當(dāng)時(shí)，，故符合題意；

②若，

（i）若，即，則，在上單調(diào)贈(zèng)

所以當(dāng)時(shí)，，故符合題意；

（ii）若，即，令，得（舍去），

，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以存在，使得，與題意矛盾，

所以不符題意.

③若，令，得

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)減.

首先證明：

要證：，即要證：，只要證：

因?yàn)?/span>，所以，故

所以

其次證明，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都成立

令，則，故在上單調(diào)遞增，

所以，則

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都成立

所以當(dāng)時(shí)，

即，與題意矛盾，故不符題意，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.