Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）設函數(shù)，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）實數(shù)的取值范圍．

【解析】

試題分析：（1）求的導數(shù)，找出處的導數(shù)即切線的斜率，由點斜式列出直線的方程即可；（2）求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)利用導數(shù)與函數(shù)增減性的關系，轉(zhuǎn)化為恒成立問題進行求解即可；(3)討論在定義域上的最值，分情況討論的增減性，進而解決存在成立的問題即可．

（1）當時，函數(shù)，

，曲線在點處的切線的斜率為

從而曲線在點處的切線方程為，即 3分

（2）

令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立

由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為

∴， 只需，即時，

∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實數(shù)的取值范圍是 7分

（3）∵在上是減函數(shù)

∴時，；時，，即

①當時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側(cè)，且，所以在內(nèi)是減函數(shù)

當時，，因為，所以，

此時，在內(nèi)是減函數(shù)

故當時，在上單調(diào)遞減，不合題意

②當時，由，所以

又由(Ⅱ)知當時，在上是增函數(shù)

∴，不合題意 12分

③當時，由(Ⅱ)知在上是增函數(shù)，

又在上是減函數(shù)，故只需，

而，

即，解得

所以實數(shù)的取值范圍是 15分．

考點：1．導數(shù)的幾何意義；2．函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)；3．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；4．分類討論的思想．