Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，當x＞0時，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

則函數(shù)g（x）=4f（x）-1的零點個數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、6
• C、8
• D、10

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=

1

4

，作出函數(shù)f（x）的表達式，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=

1

4

，
要判斷函數(shù)g（x）的零點個數(shù)，則根據(jù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
只需要判斷當x＞0時f（x）=

1

4

的個數(shù)即可，
當0＜x≤2時，f（x）=2^|x-1|-1∈[0，1]，
當2＜x≤4時，0＜x-2≤2時，f（x）=

1

2

f（x-2）=

1

2

[2^|x-3|-1]∈[0，

1

2

]，
當4＜x≤6時，2＜x-2≤4時，f（x）=

1

2

f（x-2）=

1

4

[2^|x-5|-1]∈[0，

1

4

]，
當6＜x≤8時，4＜x-2≤6時，f（x）=

1

2

f（x-2）=

1

8

[2^|x-7|-1]∈[0，

1

8

]，
作出函數(shù)f（x）在（0，8）上的圖象，由圖象可知f（x）=

1

4

有5個根，
則根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知f（x）=

1

4

在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上共有10個根，
即函數(shù)g（x）=4f（x）-1的零點個數(shù)為10個，
故選：D

點評：本題主要考查函數(shù)零點的個數(shù)判斷，利用函數(shù)和方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達式，作出函數(shù)f（x）的圖象是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．