Question

8．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，若△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓E上，C在直線L：y=x+2上，且AB∥L．
（1）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；
（2）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí)，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）利用離心率求出短半軸的長(zhǎng)，得到橢圓方程，利用AB∥l，求出AB所在直線的方程為y=x．設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x\end{array}\right.$求出|AB|，然后求解三角形的面積．
（2）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x+m\end{array}\right.$，設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化表示|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．然后求解最值即可．

解答 解：（1）因?yàn)殡x心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，所以${e^2}=1-\frac{b^2}{4}$，則${b^2}=\frac{4}{3}$
所以橢圓E的方程為x²+3y²=4…（2分）
因?yàn)锳B∥l，且AB邊通過點(diǎn)（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x．
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x\end{array}\right.$得x=±1．
所以|AB|=$\sqrt{2}|{{x_1}-{x_2}}|=2\sqrt{2}$． …（4分）
又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離．
所以h=$\sqrt{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}\left|{AB}\right.$|•h=2． …（6分）
（2）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=4\\ y=x+m\end{array}\right.$得4x²+6mx+3m²-4=0．
因?yàn)锳，B在橢圓上，
所以△=-12m²+64＞0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$-\frac{3m}{2}$，x₁x₂=$\frac{{3{m^2}-4}}{4}$，…（8分）
所以|AB|=$\sqrt{2}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{32-6{m^2}}}}{2}$．
又因?yàn)锽C的長(zhǎng)等于點(diǎn)（0，m）到直線l的距離，即|BC|=$\frac{{|{2-m}|}}{{\sqrt{2}}}$…（10分）
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以當(dāng)m=-1時(shí)，AC邊最長(zhǎng)，（這時(shí)△=-12+64＞0）
此時(shí)AB所在直線的方程為y=x-1． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．