Question

9．我市湘陰縣地處長沙北部、南洞庭湖濱，是長株潭“兩型社會(huì)”綜合配套改革試驗(yàn)區(qū)核心區(qū)--濱湖示范區(qū)的重要組成部分，是全省承接產(chǎn)業(yè)發(fā)展加工貿(mào)易試點(diǎn)縣和全省最具投資吸引力的五個(gè)縣之一．在市委市政府的指導(dǎo)下，計(jì)劃于2015年在湘陰縣長湘公路一側(cè)建設(shè)一新型工業(yè)園．利用已有地形，現(xiàn)擬在鄉(xiāng)村公路上某處C到長湘公路某處B新建一條長為$\sqrt{3}$公里的公路，圍成一個(gè)三角形區(qū)域建設(shè)工業(yè)園（如圖所示）．已知∠A=60°．
（1）若B=$\frac{π}{4}$，求工業(yè)園的面積．
（2）求工業(yè)園面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得b，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出；
（2）利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)可得bc的最大值，進(jìn)而得到三角形面積的最大值．

解答 解：（1）∵$B=\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，及$a=\sqrt{3}$，
得$b=a•\frac{sinA}{sinB}=\sqrt{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}\sqrt{2}×\sqrt{3}sin\frac{5π}{12}$．
而$sin\frac{5π}{12}=sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）=sin\frac{π}{6}cos\frac{π}{4}+cos\frac{π}{6}sin\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．
（2）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc，
∴bc≤3，∴${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)$b=c=\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴S_△ABC的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
答：（1）工業(yè)園的面積為$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$平方公里；
（2）工業(yè)園面積的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$平方公里．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．