Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-3×2ⁿ+4（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求出首項(xiàng)，進(jìn)一步得到${a}_{n}=2{a}_{n-1}+3×{2}^{n-1}$，兩邊同時(shí)除以2ⁿ后可得，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，由此求得答案．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，由S_n=2a_n-3×2ⁿ+4，①
得a₁=S₁=2a₁-3×2+4，解得a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-3×{2}^{n-1}+4$，②
①-②得：${a}_{n}=2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-3×{2}^{n}+3×{2}^{n-1}$（n≥2），
即${a}_{n}=2{a}_{n-1}+3×{2}^{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=\frac{3}{2}$（n≥2），
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．