Question

18．已知x∈[$\frac{1}{2}$，4]，求函數(shù)y=log₂x•（log₂$\frac{x}{4}$）的值域．

Answer 1

分析 將原函數(shù)變成y=$（lo{g}_{2}x-1）^{2}-1$，所以根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，由x∈[$\frac{1}{2}$，4]即可求出log₂x的范圍，從而根據(jù)解析式y(tǒng)=$（lo{g}_{2}x-1）^{2}-1$即可求出原函數(shù)的最大值、最小值，即求出其值域．

解答 解：y=$lo{g}_{2}x•（lo{g}_{2}\frac{x}{4}）$=log²₂x-2log₂x=$（lo{g}_{2}x-1）^{2}-1$；
∵$x∈[\frac{1}{2}，4]$，∴l(xiāng)og₂x∈[-1，2]；
∴l(xiāng)og₂x=1時，原函數(shù)取最小值-1；log₂x=-1時，取最大值3．
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇-1，3]．

點(diǎn)評 考查對數(shù)的運(yùn)算，配方法求函數(shù)的值域，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．