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不等式ln(1+x)-
1
4
x2≤M恒成立，則M的最小值為______．
令f（x）=ln(1+x)-
1
4
x2，則問題轉(zhuǎn)化為M大于等于f（x）的最大值．
f′(x)=
1
1+x
-
1
2
x，
令
1
1+x
-
1
2
x=0，
化簡為x2+x-2=0，解得x1=-2（舍去），x2=1．
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)增加；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)減少．
所以 f(1)=ln2-
1
4
為函數(shù)f（x）的極大值．
又因?yàn)閒（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f(1)=ln2-
1
4
為函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴M≥In2-
1
4
．
則M的最小值為In2-
1
4
．
故答案為：In2-
1
4
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•江西模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：ex+y=x+1．（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；（2）解關(guān)于x的不等式ln(1+
x+1
)-
x+1
＞ln
3
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江西模擬 題型：解答題

已知實(shí)數(shù)x，y滿足：ex+y=x+1．（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；（2）解關(guān)于x的不等式ln(1+
x+1
)-
x+1
＞ln
3
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=(1+)an+(n≥1).

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明an≥2(n≥2);

(2)已知不等式ln(1+x)＜x對(duì)x＞0成立,證明an＜e2(n≥1),其中無理數(shù)e=2.718 28….

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù),若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.?

(1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);

(2)求證:當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí),有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時(shí)恒成立.

(Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)求證：當(dāng)x1＞0,x2＞0時(shí)，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；

(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時(shí)恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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同步練習(xí)冊(cè)答案