Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1且a_n+1=(1+)a_n+(n≥1).

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n≥2(n≥2);

(2)已知不等式ln(1+x)＜x對(duì)x＞0成立,證明a_n＜e²(n≥1),其中無理數(shù)e=2.718 28….

Answer 1

剖析:本題第二問中a_n不能求出,直接比較a_n與e²的大小不行,且是與自然數(shù)有關(guān)的命題,故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.

證明:(1)①當(dāng)n=2時(shí),a₂=2≥2,不等式成立.

    ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即a_k≥2(k≥2),那么a_k+1=［1+］a_k+≥2,

這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.

    根據(jù)①②可知a_n≥2對(duì)所有n≥2成立.

    (2)由遞推公式及(1)的結(jié)論有

    a_n+1=(1+)a_n+≤(1++)a_n(n≥1).兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得

    lna_n+1≤ln(1++)+lna_n≤lna_n++.

    故lna_n+1-lna_n≤+(n≥1).

    上式從1到n-1求和可得

    lna_n-lna₁≤++…++++…+=1-+(-)+…+-+·=1-+1-＜2,

    即lna_n＜2,故a_n＜e²(n≥1).