Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx+$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，-sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積以及二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）通過x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]時，求出相位的范圍，然后利用三角函數(shù)的值域求解函數(shù)f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx+$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，-sinx），
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosxcosx-$\sqrt{3}$cosxsinx-sinxsinx-$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x
=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得$kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z．
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間$[kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}]$，k∈Z；
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，可得：$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}]$，
-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\sqrt{3}$，2]．
函數(shù)f（x）的取值范圍：[$-\sqrt{3}$，2]．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，向量的數(shù)量積增函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．