Question

10．已知函數f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，其中a為常數
（1）根據a的不同取值，判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若a∈（1，3），判斷函數f（x）在[1，2]上的單調性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性的定義即可判斷，需要分類討論；
（2）根據導數和函數的單調性的關系即可判斷．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=$\frac{1}{x}$，顯然為奇函數，
當a≠0時，f（1）=a+1，f（-1）=a-1，f（1）≠f（-1），且f（1）+f（-1）≠0，
所以此時f（x）為非奇非偶函數．
（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
∵a∈（1，3），x∈[1，2]，
∴ax＞1，
∴ax³＞1，
∴2ax³-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函數f（x）在[1，2]上的單調遞增．

點評 本題考查了函數的奇偶性和單調性，屬于基礎題．