Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，分別為其左右焦點(diǎn)．一動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切。

（Ⅰ） （ⅰ）求橢圓的方程；   （ⅱ）求動(dòng)圓圓心軌跡的方程；

（Ⅱ） 在曲線上有兩點(diǎn)，橢圓上有兩點(diǎn)，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，

則所求橢圓方程.　…………3分　　　　　　　　

（ⅱ）由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為.  …………6分

（Ⅱ）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，|MN|=4，此時(shí)PQ的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，|PQ|=4，

從而. …………8分

設(shè)直線的斜率為，則,直線的方程為：  直線PQ的方程為，

設(shè)

由，消去可得…………9分

由拋物線定義可知：

由，消去得，…………10分

從而，          

∴…………11分

令，∵k>0，則  則

…………12分

所以          所以四邊形面積的最小值為8.   

_{的最后一步另解：}