Question

6．曲線y=ln（x-1）上的點(diǎn)到直線x-y+4=0的最短距離是（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)直線x-y+C=0是曲線y=ln（x-1）的切線且與直線x-y+4=0平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式，即可算出曲線y=ln（x-1）上的點(diǎn)到直線x-y+4=0的最短距離．

解答 解：設(shè)直線x-y+C=0與直線x-y+4=0平行，
且與曲線y=ln（x-1）相切，切點(diǎn)為P（m，ln（m-1）），
由y′=$\frac{1}{x-1}$
∴y'|_x=m=1，即$\frac{1}{m-1}$=1，可得m=2，
故切點(diǎn)為P（2，0）
求得P到直線x-y+4=0的距離d=$\frac{2+4}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即曲線y=ln（x-1）上的點(diǎn)到直線x-y+4=0的最短距離是3$\sqrt{2}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題求曲線上動(dòng)點(diǎn)到直線的最短距離，著重考查了點(diǎn)到直線的距離公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．