Question

12．已知實(shí)數(shù)x∈R，α∈R，則當(dāng)x=2 時(shí)，（x+sinα）²+（4-x-cosα）²取最小值為9-$4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過分析可知所求最小值表示單位圓上的點(diǎn)到直線x-y-4=0的距離的最小值的平方，數(shù)形結(jié)合、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：記4-x=t，則x=4-t，-x=t-4，
∴（x+sinα）²+（4-x-cosα）²=（x-cosα）²+（x-4-sinα）²，
∴（x+sinα）²+（4-x-cosα）²表示單位圓上的點(diǎn)到直線x-y-4=0的距離的最小值的平方，
過原點(diǎn)O作OB垂直于直線x-y-4=0交于點(diǎn)B，OB交單位圓與點(diǎn)A，
則|AB|²即為所求值，
∵|OB|=$\frac{|0-0-4|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|AB|=|OB|-|OA|=2$\sqrt{2}$-1，
∴|AB|²=$（2\sqrt{2}-1）^{2}$=9-$4\sqrt{2}$，
記此時(shí)B（x，x-4），∴|OB|=2$\sqrt{2}$=$\sqrt{{x}^{2}+（x-4）^{2}}$，
解得x=2，
故答案為：2，9-$4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．