Question

5．已知M，N為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，P（異于點(diǎn)M，N）是雙曲線上任意一點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，則當(dāng)e${\;}^{{k}_{1}}$${\;}^{{k}_{2}}$^-1-ln（k₁k₂）取最小值時(shí)，雙曲線離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 設(shè)M（-a，0），N（a，0），P（x，y），得到k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＞0，構(gòu)造函數(shù)y=e^x-1-lnx，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)M（-a，0），N（a，0），P（x，y）
由題意，k₁=$\frac{y}{x+a}$，k₂=$\frac{y}{x-a}$
∴k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，
∴k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
對(duì)于函數(shù)y=e^x-1-lnx，
由y′=e^x-1-$\frac{1}{x}$=0，得x=1，
x＞1時(shí)，y′＞0，0＜x＜1時(shí)，y′＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=e^x-1-lnx（x＞0）取得最小值1，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1，
∴e=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到導(dǎo)數(shù)、最值、雙曲線、離心率等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．