Question

3．已知函數(shù)y=g（x）與f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
（Ⅰ）求y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在函數(shù)y=f（x）的解析式中，以-x替換x，以-y替換y，則y=g（x）的解析式可求；
（Ⅱ）寫出F（x）=f（x）+g（x），求出其定義域，判斷出其奇偶性和單調(diào)性，利用單調(diào)性把不等式F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式組得答案．

解答 解：（Ⅰ）在函數(shù)y=log_a（x+1）中，取x=-x，y=-y，得-y=log_a（1-x），
∴y=$lo{g}_{a}\frac{1}{1-x}$，
∵y=g（x）與f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴g（x）=$lo{g}_{a}\frac{1}{1-x}$，
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）=$lo{g}_{a}（x+1）+lo{g}_{a}\frac{1}{1-x}=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，∴函數(shù)F（x）的定義域為（-1，1），
又F（-x）=$lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}=lo{g}_{a}（\frac{1+x}{1-x}）^{-1}$=$-lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$=-F（x），
∴F（x）為奇函數(shù)，
y=$\frac{1+x}{1-x}=-\frac{x-1+2}{x-1}=-\frac{2}{x-1}-1$為（-1，1）上的增函數(shù)，且0＜a＜1，
∴F（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，
由F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0，得F（t²-2t）＜F（1-2t²），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{t}^{2}-2t＜1}\\{-1＜1-2{t}^{2}＜1}\\{{t}^{2}-2t＞1-2{t}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$1-\sqrt{2}＜t＜-\frac{1}{3}$．
∴不等式F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0的解集為$（1-\sqrt{2}，-\frac{1}{3}）$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的對稱性，考查了函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬中檔題．