Question

8．已知圓C過兩點(diǎn)A（0，4），B（4，6），且圓心在直線x-2y-2=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l過原點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）線段AB的垂直平分線為2x+y-9=0與直線x-2y-2=0聯(lián)立，求出圓心坐標(biāo)，半徑，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，求出圓心C到直線l的距離，利用直線l過原點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為6，結(jié)合勾股定理，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）線段AB的垂直平分線為2x+y-9=0與直線x-2y-2=0聯(lián)立
可得圓心C（4，1），…（3分）
∴半徑r=5，
故所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+（y-1）²=25．…（7分）
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，x=0顯然滿足題意； …（9分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，
∵弦長(zhǎng)為6，∴圓心C到直線l的距離d=4，…（11分）
即$\frac{|4k-1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，解得$k=-\frac{15}{8}$，此時(shí)直線l：15x+8y=0，…（13分）
故所求直線l的方程為x=0或15x+8y=0．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．