Question

15．（1）證明：函數(shù)y=xsinx+cosx在區(qū)間（$\frac{3}{2}$π，$\frac{5}{2}$π）內(nèi)是增函數(shù)．
（2）證明：函數(shù)f（x）=e^x+e^-x在[0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的導數(shù)在區(qū)間上的符號，利用導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可證明本題．

解答 證明：（1）函數(shù)y=xsinx+cosx，
則函數(shù)y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx．
∵x∈（$\frac{3}{2}$π，$\frac{5}{2}$π），
∴cosx＞0，
∴xcosx＞0，即x∈（$\frac{3}{2}$π，$\frac{5}{2}$π），y′＞0恒成立，
∴函數(shù)y=xsinx+cosx在區(qū)間（，）上是增函數(shù)；
（2）：∵f（x）=e^x+e^-x
∴f′（x）=e^x-e^-x
令f′（x）≥0得，x≥0，
函數(shù)f（x）=e^x+e^-x在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分析問題解決問題的能力．