Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，M為AB邊的中點(diǎn)，$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$（λ∈R）且$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$，又已知|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，則角C=90°．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，化簡$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$，得出M為△ABC外接圓的圓心，AB為直徑，C=90°．

解答 解：如圖所示，
過點(diǎn)C作CO⊥AB，垂足為O，則：
cosA=$\frac{|\overrightarrow{AO}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，cosB=$\frac{|\overrightarrow{BO}|}{|\overrightarrow{BC}|}$；
∴$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$=$\frac{1}{|\overrightarrow{AO}|}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{BO}|}$$\overrightarrow{CB}$；
又$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$（λ∈R），
∴λ≠0，
∴$\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{λ}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{2λ}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2λ}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\frac{1}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{|\overrightarrow{BO}|}$，
即|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{BO}$|；
∴O是邊AB的中點(diǎn)，M與O重合；
又|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，∴CM=AM=BM，
M為△ABC外接圓的圓心，AB為直徑，
∴C=90°．
故答案為：90°．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的加法的幾何意義以及直角三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目．