Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos θ，sin θ），向量$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-1），則|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最大值與最小值的和為4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由條件求得|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{8-8cos（θ+\frac{π}{6}）}$，結(jié)合θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最大值與最小值，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（2cosθ-$\sqrt{3}$，2sinθ+1），
故|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{4-8cos（θ+\frac{π}{6}）+4}$=$\sqrt{8-8cos（θ+\frac{π}{6}）}$，θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當θ+$\frac{π}{6}$=π時，|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最大值為4；
當θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最小值為$\sqrt{8-8×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最大值與最小值的和為4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故答案為：4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式，求向量的模的方法，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．