Question

10．已知函數(shù)y=$\frac{{a}^{2}+2asinx+2}{{a}^{2}+2acosx+2}$（x∈R）且a≠0，a∈R，試求此函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 問題可化為（y-1）a²+2（ycosx-sinx）a+2y-2=0必定有解，當(dāng)y-1≠0時(shí)，由△≥0結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)可得y的范圍，當(dāng)y=1時(shí)驗(yàn)證不合題意，綜合可得．

解答 解：分母看作a的二次函數(shù)，可得△=（2cosx）²-4×1×2＜0，
由二次函數(shù)可知分母a²+2acosx+2恒大于0，
∴原式可化為ya²+2aycosx+2y=a²+2asinx+2，
整理可得（y-1）a²+2（ycosx-sinx）a+2y-2=0，
∵關(guān)于a的一元二次方程必定有解，
∴當(dāng)y-1≠0時(shí)，△=4（ycosx-sinx）²-8（y-1）²≥0，
由ycosx-sinx=$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（φ-x）整理可得（1+y²）sin²（φ-x）≥2（y-1）²，
∴$\frac{2（y-1）^{2}}{1+{y}^{2}}$≤sin²（φ-x）≤1，整理可得y²-4y+1≤0，解得2-$\sqrt{3}$≤y≤2+$\sqrt{3}$，且y≠1；
當(dāng)y=1時(shí)，（2cosx-2sinx）a=0，∵x∈R，故a=0，不合題意．
故函數(shù)的值域?yàn)閧y|2-$\sqrt{3}$≤y≤2+$\sqrt{3}$，且y≠1}

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及一元二次方程根的存在性和分類討論的思想，屬中檔題．